HIMPUNAN


HIMPUNAN

            Suatu himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota himpunan atau tidak.
            Himpunan umumnya dinyatakan dengan huruf besar, sedang anggotanya umumnya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika x adalah objek dari himpunan A maka ditulis  x ÎA, dibaca ”x di dalam A” atau ”x anggota A” atau ”x elemen A” atau  ”x  termuat dalam A”. Jika y bukan objek dalam himpunan A, maka ditulis  yÏA dan dibaca ”y tidak di dalam A” atau ”y bukan anggota A” atau ”y bukan elemen A” atau  ”y tidak termuat dalam A”.

Contoh :
§  Koleksi {1, 2, 3, 4} adalah himpunan tetapi { 1, 2, 3, 2, 4, 3} bukan himpunan
§  Kelompok orang dewasa tidak mendefinisikan suatu himpunan sebab kelompok ini tidak jelas kriterianya. Apakah yang disebut dewasa itu kalau sudah punya  SIM ? Sudah menikah ? Sudah menjadi mahasiswa ? dan sebagainya. Kalau kriteria diperjelas, misalkan kelompok orang yang berumur lebih dari 20 tahun, ini membentuk suatu himpunan.
§  Koleksi {1, 2, 3, 4, ... , 100} adalah himpunan.

PENYAJIAN HIMPUNAN
Pada dasarnya terdapat dua cara penyajian himpunan :
        mendaftar semua anggotanya
        menyebutkan sifat keanggotaannya
Contoh :
  1. A = {1, 2}
  2. B = { x ; x2 − 3x + 2 = 0}
  3. C = { Yayuk, Liliek,  Nenik, Utami }
  4. Himpunan dosen Matematika Unair yang mengajar Aljabar Linear Elementer

Beberapa himpunan bilangan yang telah kita kenal dan akan sering digunakan adalah :
P   = himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, 11, ...}
N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, 4, 5,  ...}
Z  = himpunan bilangan bulat = { ... , -2, -1, 0, 1, 2,  ...}
Q = himpunan bilangan rasional = {p/q ; p, q Î Z , q ¹ 0}
I  = himpunan bilangan irrasional
R = himpunan bilangan real = Q È I
C = himpunan bilangan kompleks = {x+iy ; x,y Î R}

Himpunan  kosong (empty set atau null set) adalah himpunan yang tidak memunyai elemen, dinotasikan  { } atau Æ.
Contoh :
§  Himpunan pembagi persekutuan dari 5 dan 8 yang bukan 1 adalah himpunan kosong.
§  Himpunan gajah yang belalainya sepanjang 3 meter.

Suatu himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B, dinotasikan     A Í B, jika A adalah himpunan kosong atau setiap anggota A juga anggota B.
Jika A himpunan bagian dari B maka B disebut superset dari A, dinotasikan  B Ê A.
Jika A himpunan bagian dari B, A ¹ Æ, dan A ¹ B  maka  A disebut himpunan bagian sejati dari B.
Dari definisi di atas diperoleh :
§  Himpunan kosong menjadi himpunan bagian setiap himpunan
§  Setiap himpunan menjadi himpunan bagian dari dirinya sendiri
§  Jika  A Í B dan  B Í C maka  A Í C.
§  Setiap himpunan tidak kosong mempunyai paling sedikit dua himpunan bagian yaitu himpunan kosong dan dirinya sendiri

Contoh :
1.       Himpunan {1, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari  {1, 2, 3, 4, 5} tetapi bukan himpunan bagian dari { 1, 3, 5, 7, 9}.
2.      P Í N Í Z Í Q Í R Í C.

Himpunan yang terdiri dari semua himpunan bagian dari himpunan X disebut himpunan kuasa dari X, dinotasikan Ã(X) atau  2X. Notasi terakhir berkaitan dengan banyaknya anggota himpunan kuasa, dalam arti jika banyaknya anggota X adalah n maka banyaknya anggota  Ã(X) adalah 2n.

Contoh : Jika X = { a, b, c} maka Ã(X) = { Æ, {a},{b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, X}.

Dari definisi himpunan kuasa maka :
  • Jika  A Í B maka Ã(A) Í Ã(B)
  • Ã(Æ) = {Æ}

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika  A Í B  dan B Í A, yaitu setiap elemen A juga elemen B dan sebaliknya.

Contoh : Himpunan A = { 2, 3} dan B = {xÎ R ; x2 - 5x + 6 = 0} adalah dua himpunan yang sama.

Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan yang meliputi semua himpunan dalam suatu system himpunan, dinotasikan dengan S.
Contoh : Sistem yang meliputi himpunan {1, 2, 3}, {2, 4, 6}, {3, 5 ,7} adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} atau sebarang supersetnya, misal {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} atau N.

Latihan.
1.      Mana di antara kelompok di bawah ini yang merupakan himpunan
a.      Kumpulan orang-orang tinggi
b.      Kumpulan orang yang tinggi badannya lebih dari 165cm
c.       Kumpulan bilangan genap
d.      Kumpulan garis lurus yang melewati satu titik tertentu
e.       {a, b, c, b, e, d, f}
f.        Koleksi bilangan real yang memenuhi persamaan x2 + 3x +2 = 0
2.      Diketahui A = { x Î N / 3x = 9} dan B = 3. Apakah A = B ?
3.      Diketahui B = { p, q, r }. Manakah pernyataan berikut yang benar :
a.   p Î B               b.  q Í B                      c.  {q} Î B                    d. {r} Í B
e.   p, r Î B                        f.  q, r  Í B                  g.  {p, r} Î B                h. {q, r} Í B
i.   a Î B                j.  b Ë B                       k.  {a} Ï B                    l. {a} Í B
m. a Ï B                n.  {p} Ë B                   o.  {a} Ë  B                   p. {a, r} Í B
4.      Nyatakan himpunan berikut dengan mendaftar anggotanya. Tuliskan syarat keanggotaannya dalam notasi matematik.
a.      Himpunan bilangan cacah kurang dari 10
b.      Himpunan bilangan asli kelipatan persekutuan dari 2 dan 3
c.       Himpunan faktor prima dari 50
d.      Himpunan bilangan real yang memenuhi persamaan x2 + 5x +6 =0
e.       Himpunan bilangan real yang memenuhi  x2 + 3x +2 < 0
5.      Nyatakan himpunan pada soal no 2 dalam bentuk himpunan dengan menyebutkan syarat keanggotaannya.
6.      Tentukan hubungan antar himpunan pada soal no 2.
7.      Tentukan himpunan semesta dari masing-masing himpunan pada soal no 2.
8.      Nyatakan himpunan berikut dengan menyebut syarat keanggotaannya.
a.                                                                                                                                                                              { 1, 2, 3, 4, 5}
b.                                                                                                                                                                              {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19}
c.                                                                                                                                                                               {1, 4, 7, 10,...}

OPERASI HIMPUNAN
Untuk sistem himpunan A dan B yang mempunyai semesta S, didefinisikan operasi himpunan berikut.
Komplemen dari A :  AC = {x Î S ; x Ï A} 
            Gabungan (union) dari A  dan B :  A È B = {x Î S ; x Î A atau x Î B}
Irisan (intersection) dari A dan B :  A Ç B = {x Î S ; x Î A dan  x Î B}

Contoh :
Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8} , dan C = {1, 3, 5, 7, 9} maka
            AC = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
            BC = {1, 3, 5, 7, 9, 10}
            A È B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
            A Ç B = {2}
            (A È B) Ç C = {1, 3}

Sifat :
  1. A Ç AC = Æ  dan  A È AC = S
  2.  SC = Æ    dan   ÆC = S
  3. (AC)C = A
  4. A Ç A = A  dan  A È A = A
  5. A Ç B = B Ç A  dan  A È B = B È A
  6. A Í A È B  dan  B Í A È B
  7. A Ç B Í A   dan  A Ç B Í B
  8. A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C  dan  A È (B È C) = (A È B) È C
  9. A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)  dan  A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

Jika A Ç B = Æ maka dikatakan A dan B saling asing (disjoint)

v  Selisih (difference) himpunan A dan B adalah
            A\B = { x Î A ; x Ï B}

Contoh : Jika A = {1, 2, 3} dan  B = {2, 4, 6, 8} maka 
            A\B = {1, 3}
B\A = {4, 6, 8}

Sifat  : 
  1. (A\B) Í A
  2. A\B, A Ç B , dan B\A adalah himpunan yang saling asing sepasang-sepasang (mutually disjoint)
  3. A\B = A Ç BC

v  Selisih simetri (symmetric difference) himpunan A dan B :
A D B = (A \ B) È (B \A)
Contoh : Jika A = {1, 2, 3} dan  B = {2, 4, 6, 8} maka   A\B = {1, 3}  dan  B\A = {4, 6, 8} sehingga  A D B = {1, 3} È {4, 6, 8} = {1, 3, 4, 6, 8}
Sifat :
1.      A D Æ = A
2.      A D B = B D A

v  Diagram Venn dan Diagram Garis
Untuk memperlihatkan hubungan antara beberapa himpunan, dapat digunakan diagram Venn ataupun diagram garis. Diagram Venn selain digunakan untuk memperlihatkan hubungan antar himpunan juga dapat digunakan untuk memperlihatkan hasil operasi himpunan yaitu dengan memberikan arsiran pada hasil operasinya. Diagram garis biasanya digunakan untuk memperlihatkan hubungan antar himpunan dimana himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lain.
Contoh :
Jika A = {a, b, c, d}, B = {a, b, c}, C= {a, b}, D= {c, d}, E  {a}, bagaimana bentuk diagram Venn dan diagram garisnya ?

v  Operasi pada himpunan yang dapat diperbandingkan (comparable set)
  1. Jika  A Í B  maka  A Ç B = A
  2. Jika  A Í B  maka  A È B = B
  3. Jika  A Í B  maka BC Í AC
  4. Jika  A Í B  maka A È (B\A) = B

Latihan
1.      Jika  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},  A = {1, 2, 3, 4},  B = {2, 4, 6, 8}, dan  C = {3, 4, 5, 6} tentukan :
a.  AC                    b. A Ç B                      c.  B È A                     d.  A Ç BC
e.  A Ç (B Ç C)     f. (A Ç B) Ç C            g. A Ç (B È C)            h. (A Ç B) È (A Ç C)
i.  A È (B Ç C)      j.  (A È B) Ç (A È C  k.  (A\B) Ç C             l.   (B\A) È C
m.  B D C              n.  C D B                     o.  (A\B)C                   p. (C D B)C
q.  A\(B È C)       r.  (A\B) Ç (A\C)      s.  A\(B Ç C)              t.  (A\B) È (A\C)
2.      Gambarkan diagram Venn masing-masing pada soal no 1.
3.      Tentukan himpunan-himpunan seperti pada soal no 1, jika S = R, A = [-4, 2),  B = (-1, 6), dan  C = (-¥, 1]
4.      Tentukan himpunan-himpunan seperti pada soal no 1, jika S = R,
A = {x Î R/x2 – 1 > 3}, B = { x Î R/x3 – 2x2 – x + 2 = 0}, dan  C = { x Î R/xlog (2x – 1) ³ 1}
5.  Tentukan himpunan-himpunan seperti pada soal no 1, jika Semesta adalah semua binatang, A adalah himpunan binatang berkaki empat, B adalah himpunan binatang bertanduk, dan C adalah himpunan binatang yang tidak mempunyai ekor. Sebutkan contoh anggota masing-masing himpunan jika himpunan tersebut tidak kosong.

HIMPUNAN BERINDEKS
Perhatikan himpunan berikut :
A = {2}
B = {2, 4}
C = {2, 4, 6}
H = {2, 4, 6, …, 16}
Antara himpunan-himpunan di atas mempunyai satu ciri yang sama yaitu mempunyai elemen bilangan genap positif. Pada masing-masing himpunan banyaknya elemen sesuai dengan nomor urutan alphabet dari abjad lambang himpunannya. Persoalannya bagaimana kita menuliskan lambang himpunannya jika himpunan semacam di atas mempunyai anggota sebanyak 50 ? Untuk mengatasi hal itu dapat digunakan indeks. Dengan menggunakan indeks, himpunan-himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.
A1 = {2}
A2 = {2, 4}
A3 = {2, 4, 6}
A8 = {2, 4, 6, …, 16}
A50 = {2, 4, 6, …, 100}
Contoh : Jika diberikan  An = { 1, 2, …, n} maka A5 = {1, 2, 3, 4, 5}, A100 = {1, 2, 3, …, 100}. Dapat dilihat pula

KARDINALITAS
Suatu himpunan dikatakan berhingga (finite) jika elemennya dapat “dinyatakan habis” dalam suatu proses penghitungan.

Contoh :
1.      Himpunan mahasiswa FMIPA Unair yang mengikuti kuliah DDM I, merupakan himpunan berhingga
2.      A = { 1, 2, 3, ..., 100} merupakan himpunan berhingga
3.      N merupakan himpunan tak berhingga
4.      B = {x  Î Z ; x2 + 1 < 1000 } merupakan himpunan berhingga
5.      C = {x  Î R ; x2 + 1 < 10 } merupakan himpunan tak berhingga

Bilangan kardinal (cardinal number) disingkat kardinalitas suatu himpunan A yang berhingga adalah banyaknya elemen dalam A, ditulis n(A) atau card(A).

Pada Himpunan berhingga A dan B berlaku
            n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)

Rumus di atas dapat diperluas dengan himpunan berhingga A, B, dan C, yaitu :
         n(A È B È C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A Ç B) – n(B Ç C) – n(A Ç C) + n(A Ç B Ç C)

Latihan.
1.      Tentukan apakah himpunan berikut berhingga.
a.   Bulan-bulan dalam satu tahun
b.      Tahun kabisat
c.       Tahun kabisat dalam satu abad
d.      Rumah-rumah dalam satu RT
e.       Orang-orang di dunia
f.        Bilangan genap yang habis dibagi 5
g.      Bilangan gasal yang nilai mutlaknya kurang dari 100
h.      Bilangan real antara 0 dan 1
2.  Tentukan kardinalitas dari himpunan berhingga pada soal no 1.

HASIL KALI  KARTESIAN  HIMPUNAN

Hasil kali kartesius (Cartesian product) dari dua himpunan A dan B, dinotasikan A x B, dimaksud adalah himpunan semua pasangan berurutan (a, b) dengan a Î A dan b Î B. Jadi
A x B = { (a, b) ; a Î A dan b Î B }
Secara sama hasil kali kartesius dari tiga himpunan  A B, dan C, dapat ditulis sebagai
A x B x C = { (a, b, c) ; a Î A, b Î B, dan c Î C }
Secara umum untuk keluarga himpunan {Ai}, maka hasil kali kartesiusnya dapat dinyatakan dengan :
            = { x = (xi) ; xi Î Ai dengan xi adalah elemen ke–i dari x }
Hasil kali kartesius A x A x A ditulis dengan A3, sehingga kita peroleh
            R2 = { (x1, x2) ; x1 x2 Î R }
R3 = { (x1, x2, x3) ; x1 x2, x3 Î R }
Rn = { (x1, x2, … , xn) ; xi Î R, i = 1, 2, ... , n }
Jika salah satu faktor penyusun hasil kali kartesius merupakan himpunan kosong, maka hasil kali kartesiusnya juga merupakan himpunan kosong.
Contoh :
A = { 1, 2, 3 }, B = { c , d },  dan  C = { y, z }
A x B = { (1, c), (1, d), (2, c), (2, d), (3, c), (3, d) }
B x C = { (c, y), (d, y), (c, z), (d, z) }
B x A = { (c, 1), (d, 1), (c, 2), (d, 2), (c, 3), (d, 3)}
A x B x C = { (1, c, y), (2, c, y), (3, c, y), (1, c, z), (2, c, z) , (3, c, z), (1, d, y), (2, d, y), (3, d, y), (1, d, z), (2, d, z) , (3, d, z)  }

Dua pasangan berurutan dikatakan sama jika elemen seletaknya sama.
Jadi  (a,b) = (p,q) apabila a = p dan b = q.

Contoh :
Jika (2x – 3 ,4) = (7,y – 1), berapakah nilai x dan y ?
Jawab :   karena 2x – 3 = 7  dan y – 1 = 4 maka  x = y =5.

Sifat : Untuk himpunan A, B, dan C berlaku
A x (B Ç C ) = (A x B)  Ç (A x C )     
Contoh :
A = { 1, 2, 3 }, B = { 2 , 4 },  dan  C  = { 3 , 5 }. Tentukan :
a.  A x (B Ç C )                                   b.  (A x B)  Ç (A x C )                        
c.  A x (B È C )                       d. (A x B)  È (A x C )
e.  (A \ B) x C                         f.  (A x C) \ (B x C)    
Jika D = { 4, 6 }, tentukan pula :
g.  (A x B) È (C x D )              h.  (A È C) x (B È D)
i.  (A x B) Ç (C x D )               j.  (A Ç C) x (B Ç D)
Apakah berlaku  A x (B È C ) = (A x B)  È (A x C ) ?

Sifat :
        Jika A1 Ì B1  dan A2 Ì B2  maka A1 x A2  Ì B1 x B2 
        Jika {Ai}  dan {Bi} keluarga himpunan sehingga  Ai Ì Bi  untuk setiap iÎ {1,2,…,n} maka Ì

Kardinalitas hasil kali kartesius
        Jika A dan B himpunan berhingga maka  n(A x B) = n(A) n(B)
        Untuk A ¹ B, n(A x B) = n(B x A)  meskipun  A x B  ¹  B x A 
        Jika A, B, dan C himpunan berhingga maka  n(A x B x C) = n(A) n(B) n(C)


0 komentar:

Search This Blog

Memuat...

Blog Archive

You can replace this text by going to "Layout" and then "Page Elements" section. Edit " About "

choiriyah fitriani amiliyah. Diberdayakan oleh Blogger.